Bohrs Atommodell

Für Elektronen verboten!

  • Physik Q3
  • sp, 02.09.2016

Der Ausgangspunkt

  • Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen um den Atomkern.
  • Die Bewegung auf einer Kreisbahn ist strahlungsfrei!

Bohrsche Postulate

  1. Atome gibt es strahlungsfrei nur in bestimmten stationären Zuständen.
  2. Quantenbedingung I: Der Bahndrehimpuls mvr ist gequantelt.
  3. Quantenbedingung II: Der Bahndrehimpuls mvr ist ein ganzzahliges Vielfaches von $$ \hbar = \frac {h } {2 \cdot \pi} $$ (sprich: „h-quer")
  4. Frequenzbedingung: Bei Übergängen zwischen den stationären Zuständen wird die Energie hf als Photon frei. Es gilt: hf = ΔE = En - Em

Radien der Elektronenbahnen im H-Atom I

  • Den Elektronen sind stehende Wellen zugeordnet.
  • Coulombkraft Fel wirkt zwischen Elektron und Proton.
  • Coulombkraft Fel wirkt als Radialkraft FR (Kreisbahn!)
  • Idee 1: Nutze die Bedingung für stehende Wellen auf einer Kreisbahn $$ \lambda_n = \frac {2\pi r}{n}$$
  • Idee 2: Nutze die Verschränkung von Impuls & Wellenlänge
    h = λ ⋅ p

Radien der Elektronenbahnen im H-Atom II

  • Ersetze in der Radialkraft $ F_R = \frac {m_e \cdot v^2}{r}$
    v2 durch den Impuls p und benutze Idee 2.
  • Ergebnis → die Bahnradien rn: $$ r_n = n^2 \cdot \frac {h^2} {4\pi^2} \cdot \frac {4\pi \epsilon_0} {m_e \cdot e^2} $$
  • n=1: Bohrscher Radius r1 = 0,53 ⋅ 10-10 m
  • rn = n2 ⋅ r1, n = 1, 2, 3, ...

Diskrete Energiezustände I

  • Bahnradien rn entsprechen diskreten Energiezuständen En
  • Gesamtenergie des Elektrons im elektrischen Feld des Atomkerns: E = Ekin + Epot
  • Kinetische Energie: Ekin = ½ ⋅ m ⋅ v2
  • Potentielle Energie: $$ E_{pot} = - \frac {1} {4\pi \epsilon_0} \cdot \frac {e^2} {r}$$

Diskrete Energiezustände II

  • Idee 1: Nutze die Bedingung Fel = FR
  • Idee 2: Setze die Gleichung für die Bahnradien rn ein
  • Ergebnis: $$ E_{n} = - \frac {1} {n^2} \cdot (\frac {e^2} {4\pi \epsilon_0})^2 \cdot \frac {2\pi^2 m_e}{h^2} $$
  • Energieniveaus (auch: Energiestufen) $$ E_{n} = - 13,6 eV \frac {1} {n^2}$$

Energiewerte & Bahnradien des Elektrons

Quantenzahl Energiedifferenz
zum Grundzustand		 Bahnradius
n ΔE in eV rn in 10-10 m
1 – 0,53
2 10,2 2,1
3 12,09 4,8
4 12,68 8,5
... ... ...
n → ∞ 13,6 -

Wasserstoffspektrum I

  • Jeder Energiestufe entspricht eine De-Broglie-Welle
  • Energieänderung via Emission bzw. Absorption eines Photons
  • $$ \Delta E = h \cdot f = E_m - E_n = 13,6eV \cdot (\frac {1}{n^2} - \frac {1}{m^2})$$
  • Em - En: Übergang vom n-ten zum m-ten Energieniveau
  • E∞ = 13,6 eV → Ionisierungsenergie des H-Atoms aus dem Grundzustand

Wasserstoffspektrum II

  • Spektrallinien entsprechen Übergänge zw. den Energieniveaus
  • Bohr kann die Rydbergfrequenz fR aus seinem Modell herleiten!
  • $$ f_R = \frac {13,6eV} {h} $$
  • $$ f = \frac {\Delta E}{h} = \frac {13,6eV} {h} \cdot (\frac {1}{n^2} - \frac {1}{m^2}) $$

Vorteile des Atommodells

  • Absorption & Emission werden durch Energieänderungen beschrieben.
  • Die Balmerformel wird hergeleitet.
  • Rydbergkonstante fR und Ionisierungsenergie werden verständlich!
  • Der Durchmesser des H-Atoms wird richtig bestimmt.

Nachteile des Atommodells

  • Die Bohrschen Postulaten sind mit der klassischen Physik nicht vereinbar, sie erscheinen willkürlich!
  • Bohrs Theorie versagt bei Mehrelektronensysteme (→ Anzahl e ≥ 2).
  • Bohrs Theorie benutzt den klassischen Bahnbegriff → Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation.
  • Bohr beschreibt das H-Atom statt als Kugel (3D) als Scheibe (2D).

Quellen

Ende