Einführung: Determinante

  • Mathematik Q2

  • sp, 2017-03-20

Determinante - was ist das?

  • Determinante = die Bestimmende

  • Determinante einer Matrix M gibt an, ob die Matrix M invertierbar ist.

  • 1. Folgerung: Die Determinante einer Matrix M ist nur bei quadratischen Matrizen sinnvoll! (Warum?)

Determinante einer quadratischen Matrix

  • Kriterium: Wir ordnen einer quadratischen Matrix eine Zahl det(M) zu. Gilt: det(M) ≠ 0, dann ist M invertierbar. Kurz:

  • 2. Folgerung: Eine Matrix M ist invertierbar   ⇔   det(M) ≠ 0

Berechnen einer Determinante I

Maxima berechnet die Matrix M22 wie folgt

M_22: matrix([a1,b1],[a2,b2]);

[ a1  b1 ]
[        ]
[ a2  b2 ]

determinant(M_22);
a1 b2 - a2 b1

Berechnen einer Determinante II

Berechnen einer 3x3-Matrizen:

M_33: matrix([a1,b1,c1],[a2,b2,c2],[a3,b3,c3]);

[ a1  b1  c1 ]
[            ]
[ a2  b2  c2 ]
[            ]
[ a3  b3  c3 ]

determinant(M_33);
a1 (b2 c3 - b3 c2) - b1 (a2 c3 - a3 c2) + (a2 b3 - a3 b2) c1

Berechnen einer Determinante III

  • Berechnen durch Entwickeln nach der ersten Zeile

  • Beachte: In den Klammern werden 2x2-Determinanten berechnet

Beispiel: (b2 c3 - b3 c2).

Berechnen einer Determinante IV

  • Determinanten bei 4x4-Matrizen → mühsam (viel Rechenarbeit!)

  • 3. Folgerung: Determinanten berechnet besser der Computer!

Schema I

Für die Entwicklung einer 3x3-Determinante gibt es folgende Vorzeichen-Matrix

[ +  –  + ]
[         ]
[ –  +  – ]
[         ]
[ +  –  + ]

  • Beispiel: es wurde nach der ersten Zeile entwickelt: + – +

  • Deshalb wird a1 positiv, b1 negativ und c1 wieder positiv genommen.

Beispiel

Als Beispiel entwickeln wir nach der dritten Spalte und erhalten:

c1 (a2 b3 - a3 b2) - c2 (a1 b3 - a3 b1) + c3 (a1 b2 - a2 b1)

Schema II

Beliebt ist folgendes Schema, bei dem die ersten zwei Spalten nochmals neben die dritte Spalte geschrieben werden:

[ a1  b1  c1  a1  b1]  
[   ↘   ↗↘  ↗↘  ↗   ]  
[ a2  b2  c2  a2  b2]  
[   ↗   ↗↘  ↗↘   ↘  ]  
[ a3  b3  c3  a3  b3]

Pfeile, die schräg nach unten verlaufen, werden positiv gezählt, Pfeile, die schräg nach oben verlaufen, negativ: a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 – b3c2a1 – c3a2b1

Schreibweise von Determinanten

     | a1  b1 |
     |        | = a1 b2 - a2 b1
     | a2  b2 |

also statt Klammern einfach gerade Striche!

Beispiel 2

    M1: matrix([1.0,0.0,1.0],[0.0,1.0,1.0],[0.0,0.0,1.0]);
                               [ 1.0  0.0  1.0 ]
                               [               ]
                               [ 0.0  1.0  1.0 ]
                               [               ]
                               [ 0.0  0.0  1.0 ]


        determinant(M1);  
                                 1.0

Beispiel 3

      M3: matrix([1.0,3.0,1.0],[2.0,6.0,1.0],[0.0,0.0,1.0]);
                               [ 1.0  3.0  1.0 ]
                               [               ]
                               [ 2.0  6.0  1.0 ]
                               [               ]
                               [ 0.0  0.0  1.0 ]

            determinant(M3);
                                       0.0

Beispiel 4

      M4: matrix([1.0,3.0,1.0],[2.0,4.0,1.0],[0.0,0.0,0.0]);
                               [ 1.0  3.0  1.0 ]
                               [               ]
                               [ 2.0  4.0  1.0 ]
                               [               ]
                               [ 0.0  0.0  0.0 ]

       determinant(M4);
                                    0.0

Beispiel 5

      M2: matrix([1.0,3.0,1.0],[2.0,1.0,1.0],[0.0,2.0,1.0]);
                               [ 1.0  3.0  1.0 ]
                               [               ]
                               [ 2.0  1.0  1.0 ]
                               [               ]
                               [ 0.0  2.0  1.0 ]

       determinant(M2);
                                    - 3.0

Üben

  • Aufgabe: Berechne die Determinante in den Beispielen 2 - 5 von Hand nach (mühsam, aber wichtig!).

→ Die Beispiele online

Ende

  • Präsentation erstellt mit Reveal.js

  • Präsentation online: kommt noch . . .